DISTRIBUSI NORMAL

VOLUME BENDA PUTAR

Salah satu penggunaan Integral selain menghitung luas daerah juga digunakan untuk menghitung volume benda putar. Pada kali ini kita akan membahas materi tentang "Menentukan Volume Benda Putar Menggunakan Integral". Volume yang diperoleh dari hasil luas daerah yang diputar dengan cara tertentu akan menghasilkan sebuah volume yang sering disebut dengan volume benda putar. Cara memutar luas daerah tersebut bisa dengan sumbu x sebagai poros, sumbu y sebagai poros atau sebuah persamaan garis yang sebagai poros. 

Selain harus menguasai kemampuan untuk mengintegralkan suatu fungsi, sobat pembaca matematikseruu.blogspot.com harus menguasai cara menggambar grafik fungsi, baik grafik fungsi kuadrat atau yang lainnya. Oke, langsung saja simak ulasan materi mengenai volume benda putar yaitu volume benda putar yang mengelilingi sumbu x.

Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x

Kasus volume benda putar yang mengelilingi sumbu x yang akan kita bahas yaitu volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva. Secara jelasnya volume benda putar pada interval a ≤ x ≤ b yang diputar mengelilingi sumbu x dan dibatasi oleh dua kurva f(x) dan g(x) sebagai berikut :

*) Rumus nya :

*) Contoh Soal dan Pembahasan

1. Volume benda yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 2x - x²  dan garis y = 2 - x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360 adalah…

Pembahasan :

➤ Langkah pertama yang harus kita lakukan yaitu menentukan grafik kurva y = 2x - x² ➝ f(x) = -x² + 2x 
a.     Tentukan titik potong sumbu x, dengan cara mensubstitusi y = 0 sehingga diperoleh akar-akar dari f(x) = -x² + 2x yaitu :
f(x) = -x² + 2x
    0 = -x² + 2x
x (-x + 2) = 0
            x₁ = 0   (0,0)

-x + 2 = 0
      -x = -2
      x₂ = 2   (2,0)
Artinya, diperoleh koordinat (0,0) dan (2,0) 

b.     Tentukan titik potong sumbu y, dengan cara mensubstitusi x = 0 sehingga diperoleh akar-akar dari f(x) = -x² + 2x yaitu :
f(x)  = -x²  + 2x
f (0) = -0² + 2.0
       = 0
Didapat koordinat (0,0) 

c.      Menentukan sumbu simetris f(x) = -x² + 2x

Jadi, sumbu simetrisnya adalah Xs = 1 

d.     Menentukan titik balik f(x) = -x² + 2x

Jadi, titik balik kurva berada pada koordinat (1,1) 

e.     Nilai diskriminan f(x) = -x² + 2x 

Sebelum kita menentukan nilai diskriminannya ada baiknya kita pahami dulu tabel di bawah ini : 

Perhatikan f(x) = -x² + 2x 
a = -1
b = 2
Karena a = -1 maka a < 0 mengakibatkan kurva terbuka ke bawah

D= b²-4ac
D = 2²-4(-1)(0) 
= 4
4 > 0 maka kurva memotong sumbu x

Seperti inilah gambar dari kurva y = 2x - x²
 

➤ Langkah yang kedua, kita akan menentukan garis y = 2-x ➝ f(x) = -x + 2
a. Tentukan titik potong sumbu x, dengan cara mensubstitusi y = 0 sehingga :
f(x) = -x + 2
    0 = -x + 2
-x + 2 = 0
      -x = -2
       x = 2 
Artinya, diperoleh koordinat (2,0) 

b. Tentukan titik potong sumbu y, dengan cara mensubstitusi x = 0 sehingga :
f(x) = -x +2 
f(0) = -0 + 2
      = 2
Jadi didapat koordinat (0,2)

Setelah itu kita tarik garis lurus pada titik yang telah ditentukan tadi yaitu (0,2) dan (2,0)

Nah, selanjutkan kita arsir daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut. Jadi gambar grafik fungsi nya seperti di bawah ini :

➤ Menentukan Batas Bawah dan Batas Atas
 y₂ = y₁ 
2-x = 2x-x² 
x² – x – 2x + 2 = 0
       x² - 3x + 2 = 0
       (x-1) (x-2) = 0
x₁= 1
x₂= 2
Titik potong (1,0) dan (2,0) maka batas a = x₁ = 1 dan b = x₂ = 2 

Nah, setelah kita perhatikan dengan seksama terlihat sebuah bangun datar yang berbentuk segitiga. Kemudian kita lakukan percerminan terhadap sumbu x. Kita tarik garis putus-putus agar dapat membedakan dengan kurva yang aslinya.

Setelah kita memutar grafik terhadap sumbu x atau sebut saja pencerminan, didapat bangun ruang yang berbentuk kerucut. Dengan kata lain, daerah berbentuk segitiga yang alasnya terletak pada sumbu x tadi, jika diputar terhadap sumbu x hasilnya adalah kerucut dengan jari-jari 1, agar lebih jelas mari kita perjelas dengan menghubungkan garis putus-putus tersebut agar dapat terlihat jelas gambar bangun kerucut yang akan kita cari volumenya tersebut.

Pada daerah yang diarsir, y1 > y2 sehingga fungsi yang diintegralkan adalah y1² - y2² atau f(x)² - g(x)² dengan demikian, volume benda putar tersebut adalah :

 

Itulah pembahasan materi pada kali ini, semoga artikel ini bermanfaat bagi kita semua, terima kasih sudah mampir ke blog ini..

INTEGRAL TENTU

Hallo sobat pembaca matematikseruu.blogspot.com kembali lagi dengan saya Wulan, pada kesempatan yang lalu kita sudah mempelajari hubungan antara Turunan dengan Integral. Nah pembahasan kita kali ini adalah tentang "Menghitung Luas Daerah Dengan Menggunakan Integral".

Ada beberapa penggunaan dari Integral diantaranya yaitu menghitung luas daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva, menghitung volume benda putar dan menghitung panjang lintasan suatu kurva. Rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), x = a, x = b dan sumbu x adalah rumus yang mendasari Integral Tentu. Memang salah satu penggunaan Integral Tentu adalah untuk mencari luas daerah di suatu kurva. 
Dalam mempelajari materi "Menghitung Luas Daerah Dengan Menggunakan Integral" ini, ada beberapa hal yang harus kita kuasai terlebih dahulu selain menguasai cara pengintegralan yaitu menggambar grafik suatu fungsi. Grafik atau kurva yang biasa dihitung luasnya adalah grafik fungsi linear berupa garis dan grafik fungsi kuadrat berupa parabola.

*) Pengertian Integral Tentu
Integral tentu adalah nilai dari jumlah luas di bawah suatu kurva tertentu dalam interval a ≤ x ≤ b, a disebut batas bawah dan b disebut batas atas Integral Tentu. Disebut Integral Tentu karena hasilnya berupa nilai tentu dan tidak lagi mengandung konstanta.

*) Rumus dan Bentuk Umum Integral Tentu

*) Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) =  –x² + 4x dan f(x) = x²

Pembahasan : 
➤ Langkah Pertama : f(x) = -x² + 4x  
a. Tentukan titik potong sumbu x → y = 0

f(x) = -x² + 4x

0     = -x² + 4x

-x² + 4x  = 0

x(-x + 4) = 0
x₁ = 0       (0,0)

       
-x + 4 = 0
-x = -4  
x₂ = 4       (4,0)  

Didapat koordinat (0,0) dan (4,0) 

b. Tentukan titik potong sumbu y → x = 0

f(x) = -x² + 4x

f(0) = -0² + 4.0

      = 0     (0,0)
Didapat koordinat (0,0)

c. Menentukan sumbu simetris f(x) = -x² + 4x

 


Jadi, sumbu simetrisnya adalah Xs  = 2

d. Menentukan titik balik f(x) = -x2 + 4x         Jadi, titik balik kurva berada di koordinat (2,4)

e. Diskriminan
Untuk menentukan posisi kurva ada beberapa hal yang harus kita perhatikan yaitu :
*Jika D=0 maka kurva menyinggung sumbu x

  Jika D<0 maka kurva tidak memotong dan menyinggung sumbu x

  Jika D>0 maka kurva memotong sumbu x

  D = (4)² – 4(-1)(0) 

       = 16 – (-4)(0)

       = 16 – 0 = 16

 16 > 0 (maka kurva memotong sumbu x)

f. Menentukan titik lain
*untuk menentukan titik lain perhatikan koordinat (0,0) dan (4,0) kita ambil angka sebelum 0 yaitu -1 dan angka sehabis 4 yaitu 5

x = -1 → f (x)  = -x² + 4x
               f (-1) = -(-1²) + 4(-1)

                        = -1 + (-4)

                        = -5          
Kita dapatkan koordinat (-1,-5)

x = 5 → f (x)   = -x² + 4x
              f (5)   = -(5²) + 4(5)

                        = -25 + 20

                        = -5            
Didapat koordinat (5,-5)  

 

➤ Langkah Kedua : f(x) = x²
Untuk langkah kedua ini sebenarnya sama seperti langkah pertama, cuma yang membedakan adalah fungsinya.
a. Tentukan titik potong sumbu x → y = 0

f(x)  = x²

  0    = x²

 x²    = 0

x (x) = 0

x₁ = 0          (0,0)

x₂ = 0          (0,0)

Diperoleh koordinat (0,0) dan (0,0)
  
b. Tentukan titik potong sumbu y → x = 0

f(x) = x²

f(0) = 0²

       = 0      (0,0)
Didapat koordinat (0,0)

c. Menentukan sumbu simetris f(x) = x²

 


Jadi, sumbu simetrisnya adalah Xs  = 0








d. Menentukan titik balik f(x) = x²

= f (0) = (02) = 0  Jadi, titik baliknya berada pada koordinat (0,0)

e. Diskriminan
D   = (0)² – 4(1)

      = 0 – 4

      = –4 
      -4<0 (maka kurva tidak memotong dan menyinggung sumbu x)

  
f. Menentukan titik lain

*untuk menentukan titik lain pada langkah kedua ini kita lakukan 2 kali untuk mencari titik lain yaitu dengan memperhatikan  koordinat (0,0) dan (0,0) kita ambil angka sebelum 0 yaitu -1 dan angka sehabis 0 yaitu 1, setelah itu perhatikan koordinat (-1,1) dan (1,1) diambil angka sebelum -1 yaitu -2 dan angka sehabis 1 yaitu 2.

x = -1 → f(x)   = x²
                  f (-1) = (1²)

                       = 1             
Diperoleh koordinat (-1,1) 

x = 1 →  f(x)    = x²
                  f (1)   = (1²)

                        = 1
Diperoleh koordinat (1,1) 
 

x = -2 → f(x)   = x²
                  f (-2) = (-2²)

                       = 4
Diperoleh koordinat (-2,4)

x = 2 →  f(x)    = x²
                  f (2)   = (2²)

                        = 4
Diperoleh koordinat (2,4) 

  

 ➤ Menentukan Batas Bawah dan Batas Atas
Sebelum kita menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva, kita harus mengetahui batas bawah dan batas atasnya terlebih dahulu.

-x² + 4x = x²

-x² - x² + 4x = 0

-2x² + 4x = 0

x (-2x + 4)

x₁ = 0  (jadi, batas bawah = 0, a = 0)

x₂ = 2  (jadi, batas atas = 2, b = 2)

Nahh, grafik nya telah didapat seperti inilah gambar grafik dan juga gambar arsirannya :

➤ Menentukan Luas Daerah yang Diarsir
Setelah kita mendapatkan daerah yang diarsir, langkah yang terakhir adalah menentukan luas daerahnya :

*) Yang akan kita lakukan pertama-tama yaitu mencari Integral nya dulu :

*) Setelah itu kita tentukan luasnya :

  

Itulah pembahasan kita kali ini, semoga bermanfaat bagi kita semua :)